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［a, b］の区間和を求める

基本

$1$ 以上 $x$ 以下の整数の和は、 $\frac{x(x+1)}{2}$ で求められる。

本題

上の公式で求めた後に、累積和の要領で差を取れば良いです、小さいほうの区間の右端が開いていることに注意します。
$S_A = sum(1 \leq x \lt A)$ , $S_B = sum(1 \leq x \leq B)$ とすると、 $sum(A \leq x \leq B) = S_B - S_A$ のように差を取れば良く、 $\frac{B(B+1)}{2} - \frac{A(A-1)}{2}$ となります(再三ですが、Aの右端が開いている事に注意してください)。